Suite croissante non majorée : énoncé (Terminale spé)

Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Soit $A$ un réel.

Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe un entier $N$ tel que $u_N>A$.

Comme $(u_n)$ est croissante, pour tout $n\ge N$, $u_n\ge u_N$, donc $u_n>A$.

Ainsi, tous les termes à partir du rang $N$ appartiennent à $]A\,;+\infty[$. Ceci étant vrai pour tout réel $A$, $\lim u_n=+\infty$.