Espérance et variance d'une loi de Bernoulli : énoncé (Terminale spé)
Espérance et variance d'une loi de Bernoulli
Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors $$E(X)=p\qquad\text{et}\qquad V(X)=p(1-p).$$
Démonstration : Espérance et variance d'une loi de Bernoulli
Espérance et variance d'une loi de Bernoulli
Par définition de l'espérance : $$E(X)=0\times(1-p)+1\times p=p.$$ Par la formule de König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$. Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $X^2=X$, donc $E(X^2)=E(X)=p$. D'où $$V(X)=p-p^2=p(1-p).$$
Obtenir un six
On lance un dé équilibré. On appelle succès « obtenir 6 ». C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac16$. La variable $X$ qui vaut $1$ si on obtient 6 et $0$ sinon vérifie $$E(X)=\frac16,\qquad V(X)=\frac16\times\frac56=\frac5{36}.$$
Le choix du succès
Le mot « succès » ne porte aucun jugement : c'est simplement l'issue que l'on compte. Dans un contrôle qualité, le « succès » peut très bien être « la pièce est défectueuse ». Il faut toujours écrire clairement ce que l'on appelle succès avant de donner $p$.
S’entraîner
- Loi binomiale ou non
- Cinq feux sur un trajet
- Paiements en espèces
- Six lancers d'une pièce équilibrée
- Répondre au hasard à un QCM
Dans le cours
Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale : Espérance et variance d'une loi de Bernoulli