Dans chaque situation, dire si la variable $X$ suit une loi binomiale. Si oui, préciser ses paramètres en justifiant ; sinon, expliquer pourquoi.
a) On lance 20 fois un dé équilibré à six faces ; $X$ compte le nombre de 1 obtenus.
b) Une urne contient 5 boules rouges et 5 boules noires. On tire successivement et sans remise 3 boules ; $X$ compte les boules rouges tirées.
c) Un QCM comporte 8 questions ; chacune propose 4 réponses dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à chaque question, indépendamment des autres ; $X$ compte ses bonnes réponses.
d) On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6 ; $X$ compte le nombre de lancers effectués.
e) Dans une grande ville, $35\,\%$ des habitants possèdent un vélo. On interroge 50 habitants choisis au hasard, ce choix étant assimilé à un tirage avec remise ; $X$ compte les personnes interrogées qui possèdent un vélo.
Vérifier les trois points de la méthode : épreuve à deux issues, répétition identique et indépendante un nombre fixé de fois, comptage des succès.
Pour b), comparer la probabilité de tirer une rouge au second tirage selon la couleur de la première boule.
Pour d), se demander si le nombre d'épreuves est fixé à l'avance.
a) L'épreuve « lancer le dé » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « obtenir 1 », de probabilité $p=\dfrac16$. Elle est répétée 20 fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B\left(20\,;\dfrac16\right)$.
b) Non. Les tirages sont sans remise, donc la composition de l'urne change. La probabilité de tirer une rouge au second tirage vaut $\dfrac49$ si la première boule était rouge et $\dfrac59$ si elle était noire : les épreuves ne sont pas indépendantes, ce n'est pas un schéma de Bernoulli.
c) L'épreuve « répondre au hasard à une question » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la réponse est exacte », de probabilité $p=\dfrac14=0{,}25$. Elle est répétée 8 fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès, donc $X\sim\mathcal B(8\,;0{,}25)$.
d) Non. Le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance, et $X$ ne compte pas des succès parmi $n$ épreuves : il compte des lancers. D'ailleurs $X$ peut prendre n'importe quelle valeur entière supérieure ou égale à 1, alors qu'une variable de loi binomiale prend ses valeurs dans $\{0,1,\dots,n\}$.
e) L'épreuve « interroger un habitant » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la personne possède un vélo », de probabilité $p=0{,}35$. D'après l'énoncé, le choix est assimilé à 50 tirages avec remise : l'épreuve est répétée 50 fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès, donc $X\sim\mathcal B(50\,;0{,}35)$.
a) B(20 ; 1/6) ; b) non ; c) B(8 ; 0,25) ; d) non ; e) B(50 ; 0,35)