Un QCM comporte 10 questions indépendantes ; chacune propose 4 réponses dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer la probabilité que le candidat n'ait aucune bonne réponse (arrondi à $10^{-4}$).
- Calculer $P(X\geqslant5)$ (arrondi à $10^{-4}$).
- Une bonne réponse rapporte 2 points, une mauvaise réponse en retire 1. On note $N$ la note obtenue. a) Exprimer $N$ en fonction de $X$, puis calculer $E(N)$. b) Calculer la probabilité que la note soit au moins égale à 5.
Ici $p=0{,}25$ et $n=10$.
$P(X\geqslant5)=1-P(X\leqslant4)$ : utiliser la fonction cumulée de la calculatrice.
Il y a $10-X$ mauvaises réponses. Puis résoudre $N\geqslant5$ en $X$.
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L'épreuve « répondre au hasard à une question » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la réponse est exacte », de probabilité $p=\dfrac14=0{,}25$. Elle est répétée 10 fois de façon identique et indépendante, et $X$ compte les succès : $X\sim\mathcal B(10\,;0{,}25)$.
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$P(X=0)=0{,}75^{10}\approx0{,}0563$.
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Comme $X$ prend des valeurs entières, $\{X\geqslant5\}$ est le contraire de $\{X\leqslant4\}$. La calculatrice donne $P(X\leqslant4)\approx0{,}92187$, donc $$P(X\geqslant5)=1-P(X\leqslant4)\approx0{,}0781.$$
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a) Le candidat a $X$ bonnes réponses et $10-X$ mauvaises, donc $$N=2X-(10-X)=3X-10.$$ Par linéarité de l'espérance, avec $E(X)=10\times0{,}25=2{,}5$ : $$E(N)=3E(X)-10=7{,}5-10=-2{,}5.$$ En moyenne, répondre entièrement au hasard conduit à une note de $-2{,}5$.
b) $N\geqslant5\iff3X-10\geqslant5\iff3X\geqslant15\iff X\geqslant5$. Donc $P(N\geqslant5)=P(X\geqslant5)\approx0{,}0781$.
P(X=0) ≈ 0,0563 ; P(X≥5) ≈ 0,0781 ; N = 3X − 10, E(N) = −2,5 ; P(N≥5) ≈ 0,0781