Espérance, variance et écart type de la loi binomiale : énoncé (Terminale spé)
Espérance, variance et écart type de la loi binomiale
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, alors $$E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.$$
Démonstration : Espérance, variance et écart type de la loi binomiale
Par décomposition en somme de variables de Bernoulli
Pour $i$ de $1$ à $n$, on note $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$-ième épreuve est un succès et $0$ sinon. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, donc $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$.
Le nombre de succès est la somme des $X_i$ : $$X=X_1+X_2+\dots+X_n.$$
- Par linéarité de l'espérance : $E(X)=E(X_1)+\dots+E(X_n)=np$.
- Les épreuves étant indépendantes, les variables $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes, et la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances : $V(X)=V(X_1)+\dots+V(X_n)=np(1-p)$.
- Enfin $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$.
La linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes sont établies dans le chapitre « Sommes de variables aléatoires ».
Contrôle de 50 pièces
Dans une production, $20\,\%$ des pièces présentent un défaut. On prélève 50 pièces, la production étant assez grande pour assimiler le prélèvement à 50 tirages avec remise. Le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$. $$E(X)=50\times0{,}2=10,\qquad V(X)=50\times0{,}2\times0{,}8=8,\qquad\sigma(X)=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83.$$ Interprétation : en répétant un grand nombre de fois ce prélèvement, on trouve en moyenne 10 pièces défectueuses par lot de 50, avec des écarts typiques de l'ordre de 3 pièces autour de cette moyenne.
Allure de la loi
Les probabilités $P(X=k)$ sont les plus grandes pour les valeurs de $k$ proches de $np$. La loi est symétrique lorsque $p=0{,}5$ (car $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$). L'espérance $np$ n'est pas forcément un entier : avec $n=10$ et $p=\frac16$, $E(X)=\frac{10}6\approx1{,}67$, valeur que $X$ ne prend jamais.
Utiliser l'espérance pour un gain
Un joueur paie $3$ euros pour lancer 6 fois un dé équilibré ; il reçoit $2$ euros par six obtenu. Le nombre $N$ de six suit $\mathcal{B}\left(6\,;\frac16\right)$, donc $E(N)=1$. Le gain algébrique est $G=2N-3$ et, par linéarité, $E(G)=2E(N)-3=-1$. En moyenne, le joueur perd 1 euro par partie.
S’entraîner
- Loi binomiale ou non
- Cinq feux sur un trajet
- Paiements en espèces
- Six lancers d'une pièce équilibrée
- Répondre au hasard à un QCM