Plans perpendiculaires : définition (Terminale spé)
Plans perpendiculaires
Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Lire un vecteur normal
Les plans $\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$ et $\mathcal Q:\ 2x+y+2z-5=0$ ont pour vecteurs normaux $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ et $\vec n'\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$.
$\vec n\cdot\vec n'=2+2-4=0$ : les plans $\mathcal P$ et $\mathcal Q$ sont perpendiculaires.
Le plan $\mathcal R:\ -2x-4y+4z+1=0$ a pour vecteur normal $-2\vec n$ : il est parallèle à $\mathcal P$. Il en est distinct car $A(2;-1;3)\in\mathcal P$ donne $-4+4+12+1=13\neq0$.
Une équation à trois variables, même si l'une manque
Dans l'espace, l'équation $y=2x+1$ (soit $2x-y+1=0$) n'est pas une droite : c'est un plan, de vecteur normal $\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$, parallèle à l'axe des cotes.
De même, $z=0$ est le plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$. Une droite de l'espace ne se décrit pas par une seule équation cartésienne.
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Orthogonalité et distances dans l'espace : Plans perpendiculaires