Exercice corrigé : Bac : tétraèdre, hauteur et plan perpendiculaire

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(2;1;0)$, $B(4;2;2)$, $C(4;-1;-1)$ et $D(3;4;-1)$.

1. a) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. b) Calculer l'aire du triangle $ABC$.
2. a) Montrer que le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$. b) En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. a) Vérifier que $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$. b) Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$. c) Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.
4. Calculer la distance $DH$, puis le volume du tétraèdre $ABCD$.
5. On considère le plan $\mathcal Q$ d'équation $2x+y+2z-5=0$. a) Montrer que les plans $\mathcal Q$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires et que leur intersection est la droite $(AC)$. b) Sans nouveau calcul de projeté, déterminer la distance du point $B$ au plan $\mathcal Q$.