Déterminer une équation du plan $(ABC)$ : méthode (Terminale spé)
Déterminer une équation du plan $(ABC)$
- Vérifier que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
- Chercher $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ non nul tel que $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ : système de deux équations à trois inconnues.
- Exprimer deux inconnues en fonction de la troisième, puis choisir une valeur non nulle de celle-ci (de façon à éviter les fractions).
- Écrire $ax+by+cz+d=0$ et trouver $d$ en remplaçant par les coordonnées de $A$.
- Contrôler avec $B$ et $C$.
Si l'énoncé propose un vecteur $\vec n$, il suffit de vérifier qu'il est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Équation d'un plan passant par trois points
Reprenons $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(2;2;3)$, avec $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, non colinéaires.
On cherche $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que : $$\begin{cases}2a+b-2c=0\\a+2b+c=0\end{cases}$$ La seconde équation donne $a=-2b-c$. Dans la première : $-4b-2c+b-2c=0$, soit $-3b-4c=0$, donc $b=-\frac43c$.
Avec $c=3$ : $b=-4$ et $a=8-3=5$. Ainsi $\vec n\begin{pmatrix}5\\-4\\3\end{pmatrix}$. Contrôle : $10-4-6=0$ et $5-8+3=0$.
Une équation est $5x-4y+3z+d=0$. Avec $A$ : $5+0+6+d=0$, donc $d=-11$.
$$(ABC):\ 5x-4y+3z-11=0$$ Contrôle : $B$ donne $15-4+0-11=0$ et $C$ donne $10-8+9-11=0$.
S’entraîner
- Produit scalaire et orthogonalité en coordonnées
- Angle et nature d'un triangle
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Équation du plan passant par trois points
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Déterminer une équation du plan $(ABC)$