Plan défini par un point et un vecteur normal : énoncé (Terminale spé)

Soit $(\vec v_1,\vec v_2)$ un couple de vecteurs non colinéaires dirigeant $\mathcal P$.

Le vecteur $\vec n$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec v_1$ et $\vec v_2$ : sinon on aurait $\vec n=\alpha\vec v_1+\beta\vec v_2$, donc $\vec n\cdot\vec n=\alpha\,\vec n\cdot\vec v_1+\beta\,\vec n\cdot\vec v_2=0$, ce qui contredit $\vec n\neq\vec0$. Les trois vecteurs $\vec v_1$, $\vec v_2$, $\vec n$ ne sont donc pas coplanaires : ils forment une base de l'espace.

Soit $M$ un point. Il existe des réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que $\overrightarrow{AM}=\alpha\vec v_1+\beta\vec v_2+\gamma\vec n$. Alors : $$\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=\alpha\times0+\beta\times0+\gamma\,\|\vec n\|^2=\gamma\,\|\vec n\|^2$$ Comme $\|\vec n\|^2\neq0$ : $$\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\iff\gamma=0\iff\overrightarrow{AM}=\alpha\vec v_1+\beta\vec v_2\iff M\in\mathcal P$$