Équation cartésienne d'un plan : énoncé (Terminale spé)

Théorème

Équation cartésienne d'un plan

L'espace est muni d'un repère orthonormé.

Un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$, où $d$ est un réel.
Réciproquement, si $a$, $b$, $c$ ne sont pas tous nuls, l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

Une telle équation s'appelle une équation cartésienne du plan.

Démonstration : Équation cartésienne d'un plan

Démonstration

Équation cartésienne d'un plan

Soit $\mathcal P$ le plan passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Pour $M(x;y;z)$, d'après la propriété précédente et l'expression analytique du produit scalaire : $$M\in\mathcal P\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\iff ax+by+cz+d=0$$ avec $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$.
On suppose $(a;b;c)\neq(0;0;0)$, par exemple $a\neq0$ (les autres cas se traitent de même). Le point $A\left(-\frac da;0;0\right)$ vérifie l'équation. Pour tout point $M(x;y;z)$ : $$ax+by+cz+d=a\left(x+\frac da\right)+b(y-0)+c(z-0)=\overrightarrow{AM}\cdot\vec n$$ Donc l'ensemble étudié est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$ : c'est le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$.

Exemple

Plan défini par un point et un vecteur normal

On cherche une équation du plan $\mathcal P$ passant par $A(2;-1;3)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$.

Une équation est de la forme $x+2y-2z+d=0$. Comme $A\in\mathcal P$ : $2+2\times(-1)-2\times3+d=0$, soit $-6+d=0$, donc $d=6$.

$$\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$$

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