Solution vérifiant une condition initiale : énoncé (Terminale spé)
Solution vérifiant une condition initiale
Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution $y$ de $y'=ay$ telle que $y(x_0)=y_0$. C'est $$y(x)=y_0\,e^{a(x-x_0)}.$$ En effet, $Ce^{ax_0}=y_0$ équivaut à $C=y_0e^{-ax_0}$, car $e^{ax_0}\neq0$.
Exemples
1. Résoudre $y'=-3y$ avec $y(0)=2$. Les solutions sont $x\mapsto Ce^{-3x}$. La condition donne $C=2$, donc $y(x)=2e^{-3x}$.
2. Résoudre $2y'+5y=0$. On isole $y'$ : $y'=-\frac52y$. Les solutions sont $x\mapsto Ce^{-\frac52x}$, $C\in\mathbb R$.
3. Trouver la solution de $y'=0{,}5\,y$ telle que $y(2)=3$. On écrit $Ce^{0{,}5\times2}=3$, soit $Ce=3$ et $C=3e^{-1}$. Donc $y(x)=3e^{-1}e^{0{,}5x}=3e^{0{,}5x-1}$. Vérification : $y(2)=3e^{0}=3$.
Signe et comportement
Une solution non nulle $Ce^{ax}$ garde le signe de $C$ et ne s'annule jamais. Si $a>0$, elle tend vers $\pm\infty$ en $+\infty$ (croissance exponentielle). Si $a<0$, elle tend vers $0$ en $+\infty$ (décroissance exponentielle).
S’entraîner
- Vérifier qu'une fonction est solution
- Primitive prenant une valeur donnée
- Résoudre des équations y' = ay
- Résoudre des équations y' = ay + b
- Primitive d'un produit par identification
Dans le cours
Primitives et équations différentielles : Solution vérifiant une condition initiale