Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(2x+3)e^{x}$.
- Expliquer pourquoi $x\mapsto (x^2+3x)e^{x}$ n'est pas une primitive de $f$.
- Soient $a$ et $b$ deux réels et $F(x)=(ax+b)e^{x}$. Calculer $F'(x)$.
- Déterminer $a$ et $b$ pour que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb R$.
- En déduire la primitive $G$ de $f$ sur $\mathbb R$ telle que $G(0)=0$.
Question 1 : dériver la fonction proposée et comparer à $f$.
Question 2 : dérivée d'un produit $(uv)'=u'v+uv'$.
Question 3 : $e^{x}>0$, on peut diviser par $e^{x}$ puis identifier les coefficients de deux fonctions affines égales.
1. La fonction $x\mapsto x^2+3x$ est une primitive de $2x+3$ et $e^{x}$ est une primitive de $e^x$, mais il n'y a pas de règle pour le produit. En dérivant : $\big((x^2+3x)e^{x}\big)'=(2x+3)e^{x}+(x^2+3x)e^{x}=(x^2+5x+3)e^{x}$, qui n'est pas égal à $f(x)$ (par exemple en $x=1$ : $9e\neq5e$).
2. $F$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $F'(x)=ae^{x}+(ax+b)e^{x}=(ax+a+b)e^{x}$.
3. $F$ est une primitive de $f$ si et seulement si $(ax+a+b)e^{x}=(2x+3)e^{x}$ pour tout réel $x$. Comme $e^{x}>0$, cela équivaut à $ax+a+b=2x+3$ pour tout $x$, c'est-à-dire, par identification des coefficients : $a=2$ et $a+b=3$, donc $b=1$.
Ainsi $F(x)=(2x+1)e^{x}$. Vérification : $F'(x)=2e^{x}+(2x+1)e^{x}=(2x+3)e^{x}$.
4. Les primitives de $f$ sont les $x\mapsto(2x+1)e^{x}+C$. $G(0)=1+C=0$ donne $C=-1$.
Conclusion : $G(x)=(2x+1)e^{x}-1$.
$a=2$, $b=1$ ; $G(x)=(2x+1)e^{x}-1$