Inégalité de Bernoulli : énoncé (Terminale spé)
Inégalité de Bernoulli
Soit $a$ un nombre réel positif. Pour tout entier naturel $n$, $$(1+a)^n\geq 1+na.$$
Démonstration : Inégalité de Bernoulli
Démonstration (exigible)
Soit $a\geq 0$ fixé. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $(1+a)^n\geq 1+na$ ».
Initialisation. $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$. Comme $1\geq 1$, $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $(1+a)^n\geq 1+na$. Montrons que $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$.
Comme $a\geq 0$, on a $1+a>0$. On multiplie les deux membres de l'hypothèse de récurrence par $1+a$, ce qui conserve le sens de l'inégalité : $$(1+a)^{n+1}\geq (1+na)(1+a).$$ Or $$(1+na)(1+a)=1+a+na+na^2=1+(n+1)a+na^2.$$ Puisque $n\geq 0$ et $a^2\geq 0$, on a $na^2\geq 0$, donc $(1+na)(1+a)\geq 1+(n+1)a$.
Par transitivité, $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $(1+a)^n\geq 1+na$.
Une hypothèse plus faible suffit
Dans la démonstration, on a seulement utilisé $1+a\geq 0$ (pour multiplier sans changer le sens) et $na^2\geq 0$, qui est toujours vrai. L'inégalité reste donc vraie pour tout réel $a\geq -1$, avec la même preuve.
Application : limite de $q^n$ pour $q>1$
Soit $q>1$. On pose $a=q-1$, donc $a>0$ et $q=1+a$. D'après l'inégalité de Bernoulli, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$q^n\geq 1+na.$$ Comme $a>0$, $\lim\limits_{n\to+\infty}(1+na)=+\infty$. Par le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n=+\infty$.
C'est la démonstration attendue de ce résultat du chapitre sur les limites de suites.
S’entraîner
- Une première inégalité avec des puissances
- Une inégalité vraie à partir d'un certain rang
- Utiliser l'inégalité de Bernoulli
- Majorer une somme qui converge
- Une inégalité de Bernoulli renforcée