Adapter la démonstration de l'inégalité de BernoulliDévelopper et regrouper des termesUtiliser le théorème des gendarmesDéterminer un seuil
- Soit $a$ un réel positif. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$(1+a)^n\geq 1+na+\frac{n(n-1)}{2}a^2.$$
- Soit $q>1$. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $q^n\geq\dfrac{n(n-1)}{2}(q-1)^2$.
- En déduire que, pour tout $q>1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{q^n}=0$.
- Dans le cas $q=2$, déterminer un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, $\dfrac{n}{2^n}\leq 0{,}01$.
Indice 1
Dans l'hérédité, multiplier l'hypothèse par $1+a$, en justifiant son signe, puis développer.
Indice 2
Vérifier que $n+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}$ et que le terme en $a^3$ restant est positif.
Indice 3
Pour la question 3, encadrer $\dfrac{n}{q^n}$ pour $n\geq 2$ par $0$ et une quantité qui tend vers $0$.
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