Démontrer une inégalité par récurrence : méthode (Terminale spé)
Démontrer une inégalité par récurrence
Dans l'hérédité d'une inégalité, on obtient rarement $P(n+1)$ en une seule ligne. On procède en chaîne :
- Partir de la quantité de gauche au rang $n+1$ et l'exprimer à l'aide de celle du rang $n$ (par exemple $2^{n+1}=2\times 2^n$).
- Utiliser l'hypothèse de récurrence pour obtenir une première inégalité $A\geq B$.
- Démontrer à part une seconde inégalité $B\geq C$, où $C$ est la quantité visée. On étudie pour cela le signe de $B-C$.
- Conclure par transitivité : $A\geq C$.
À chaque multiplication d'une inégalité, vérifier le signe du facteur.
Comparer $2^n$ et $n^2$
Montrons que, pour tout entier $n\geq 4$, $2^n\geq n^2$. On note $P(n)$ : « $2^n\geq n^2$ ».
Initialisation. Pour $n=4$ : $2^4=16$ et $4^2=16$. Donc $P(4)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\geq 4$ un entier fixé. On suppose $2^n\geq n^2$. Montrons que $2^{n+1}\geq (n+1)^2$.
En multipliant l'hypothèse de récurrence par $2>0$ : $2^{n+1}\geq 2n^2$.
Comparons $2n^2$ et $(n+1)^2$ : $$2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2.$$ Comme $n\geq 4$, $(n-1)^2\geq 9$, donc $(n-1)^2-2\geq 7>0$. Ainsi $2n^2\geq (n+1)^2$.
Par transitivité, $2^{n+1}\geq (n+1)^2$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout entier $n\geq 4$, $2^n\geq n^2$.
Le rang $n_0=4$ n'est pas un détail : pour $n=3$, $2^3=8<9=3^2$. La propriété est vraie pour $n=0,1,2$ mais fausse pour $n=3$ ; l'hérédité échoue à partir de $n=2$ car $(2-1)^2-2=-1<0$.
S’entraîner
- Expression explicite d'une suite définie par récurrence
- Somme des puissances de 2
- Une divisibilité par 6
- Une suite définie par un quotient
- Une première inégalité avec des puissances
Dans le cours
Raisonnement par récurrence : Démontrer une inégalité par récurrence