Appliquer l'inégalité de BernoulliDémontrer une inégalité par récurrenceExploiter une minoration pour un seuil
- À l'aide de l'inégalité de Bernoulli, montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1{,}01^n\geq 1+0{,}01n$.
- En déduire un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, $1{,}01^n\geq 100$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0{,}9^n\geq 1-0{,}1n$.
- Cette minoration de $0{,}9^n$ apporte-t-elle une information pour $n\geq 10$ ?
Indice 1
Pour la question 1, choisir la bonne valeur de $a$ dans $(1+a)^n\geq 1+na$.
Indice 2
Pour la question 2, chercher les $n$ tels que $1+0{,}01n\geq 100$.
Indice 3
Pour la question 3, multiplier l'hypothèse de récurrence par $0{,}9$, puis comparer $0{,}9-0{,}09n$ et $0{,}9-0{,}1n$.
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