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Terminale › Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres › Espérance et variance de la loi binomiale

Espérance et variance de la loi binomiale : énoncé (Terminale spé)

Théorème

Espérance et variance de la loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, alors : $$E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.$$

Démonstration : Espérance et variance de la loi binomiale
Démonstration

Espérance et variance de la loi binomiale (exigible)

On écrit $X=X_1+\dots+X_n$ où les $X_i$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Espérance. Par linéarité de l'espérance : $$E(X)=E(X_1)+\dots+E(X_n)=\underbrace{p+\dots+p}_{n\text{ termes}}=np.$$ Variance. Les $X_i$ étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $$V(X)=V(X_1)+\dots+V(X_n)=\underbrace{p(1-p)+\dots+p(1-p)}_{n\text{ termes}}=np(1-p).$$ Enfin $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$.

Exemple

Application numérique

Un QCM comporte $20$ questions indépendantes. Un élève qui répond au hasard a une probabilité $0{,}3$ de répondre juste à chacune. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}(20\,;0{,}3)$.

$E(X)=20\times0{,}3=6$, $V(X)=20\times0{,}3\times0{,}7=4{,}2$, $\sigma(X)=\sqrt{4{,}2}\approx2{,}05$.

Attention

Tirages sans remise

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes. On tire $2$ boules successivement sans remise ; $X$ est le nombre de boules rouges obtenues. On pose $X=X_1+X_2$, où $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ième boule est rouge.

  • $P(X_1=1)=\frac35$ et $P(X_2=1)=\frac35\times\frac24+\frac25\times\frac34=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac35$.
  • La linéarité reste valable : $E(X)=\frac35+\frac35=\frac65=1{,}2$.

Mais $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes, et $X$ ne suit pas une loi binomiale. Calcul direct : $P(X=2)=\frac35\times\frac24=0{,}3$, $P(X=0)=\frac25\times\frac14=0{,}1$, $P(X=1)=0{,}6$. Alors $E(X^2)=0{,}6+4\times0{,}3=1{,}8$ et $V(X)=1{,}8-1{,}44=0{,}36$, alors que $V(X_1)+V(X_2)=2\times\frac35\times\frac25=0{,}48$.

S’entraîner

Dans le cours

Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Espérance et variance de la loi binomiale