Espérance, variance et écart type de $S_n$ et $M_n$ : énoncé (Terminale spé)
Espérance, variance et écart type de $S_n$ et $M_n$
Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un échantillon de la loi d'une variable $X$ d'espérance $\mu=E(X)$ et de variance $V=V(X)$. Alors : $$E(S_n)=n\mu,\qquad V(S_n)=nV,\qquad \sigma(S_n)=\sqrt{n}\,\sigma(X),$$ $$E(M_n)=\mu,\qquad V(M_n)=\frac{V}{n},\qquad \sigma(M_n)=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}.$$
Démonstration : Espérance, variance et écart type de $S_n$ et $M_n$
Somme et moyenne d'un échantillon
Chaque $X_i$ a la même loi que $X$, donc $E(X_i)=\mu$ et $V(X_i)=V$.
Par linéarité : $E(S_n)=E(X_1)+\dots+E(X_n)=n\mu$.
Les $X_i$ étant indépendantes : $V(S_n)=V(X_1)+\dots+V(X_n)=nV$, donc $\sigma(S_n)=\sqrt{nV}=\sqrt n\,\sigma(X)$.
Comme $M_n=\frac1n S_n$ : $$E(M_n)=\frac1n E(S_n)=\frac{n\mu}{n}=\mu,\qquad V(M_n)=\frac{1}{n^2}V(S_n)=\frac{nV}{n^2}=\frac Vn,$$ et $\sigma(M_n)=\sqrt{\dfrac Vn}=\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt n}$.
Cent lancers de dé
On lance $100$ fois un dé équilibré. Pour un lancer, $\mu=3{,}5$ et $V=\frac{35}{12}$, donc $\sigma(X)=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx1{,}708$.
- Somme des résultats : $E(S_{100})=350$, $V(S_{100})=100\times\frac{35}{12}=\frac{875}{3}\approx291{,}7$, $\sigma(S_{100})=10\,\sigma(X)\approx17{,}08$.
- Moyenne des résultats : $E(M_{100})=3{,}5$, $V(M_{100})=\frac{35}{1200}=\frac{7}{240}\approx0{,}029$, $\sigma(M_{100})=\frac{\sigma(X)}{10}\approx0{,}171$.
La somme se disperse davantage que pour un seul lancer, la moyenne beaucoup moins.
Ne pas confondre $nX$ et $X_1+\dots+X_n$
$nX$ correspond à une seule expérience dont on multiplie le résultat par $n$ : $V(nX)=n^2V(X)$.
$S_n=X_1+\dots+X_n$ correspond à $n$ expériences indépendantes : $V(S_n)=nV(X)$.
Les deux variables ont la même espérance $n\mu$, mais pas la même variance. Par exemple, avec le dé : $V(2X)=4\times\frac{35}{12}=\frac{35}{3}$, tandis que $V(X_1+X_2)=2\times\frac{35}{12}=\frac{35}{6}$.
Interprétation
La moyenne $M_n$ a toujours pour espérance $\mu$, et son écart type $\frac{\sigma(X)}{\sqrt n}$ diminue quand $n$ augmente : les valeurs de $M_n$ se resserrent autour de $\mu$. Comme l'écart type est divisé par $\sqrt n$, il faut multiplier la taille de l'échantillon par $4$ pour diviser l'écart type de la moyenne par $2$, et par $100$ pour le diviser par $10$.
S’entraîner
- Loi d'une somme de deux variables indépendantes
- Espérance et variance d'une combinaison linéaire
- Tirs à l'arc et loi binomiale
- Somme et moyenne d'un échantillon
- Premières utilisations de Bienaymé-Tchebychev