Dans un repère de l'espace, on considère les points $A(1 ; 0 ; -2)$ et $B(3 ; -1 ; 2)$.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
- Les points $C(7 ; -3 ; 10)$ et $D(-1 ; 1 ; -5)$ appartiennent-ils à la droite $(AB)$ ?
- Déterminer les coordonnées du point de la droite $(AB)$ dont la cote est nulle.
Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}$.
Pour un point donné, tirer $t$ de la première équation, puis tester les deux autres avec cette même valeur.
Pour la dernière question, résoudre $z = 0$ en $t$.
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$\overrightarrow{AB}(2 ; -1 ; 4)$ est non nul : c'est un vecteur directeur de $(AB)$. Avec le point $A$ : $$(AB) : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = -2 + 4t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$ Pour $t = 1$ on retrouve $B(3 ; -1 ; 2)$.
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Pour $C(7 ; -3 ; 10)$ : la première équation donne $7 = 1 + 2t$, soit $t = 3$. Avec $t = 3$ : $y = -3$ et $z = -2 + 12 = 10$. Les trois coordonnées correspondent : $C \in (AB)$.
Pour $D(-1 ; 1 ; -5)$ : $-1 = 1 + 2t$ donne $t = -1$. Alors $y = 1$, correct, mais $z = -2 - 4 = -6 \neq -5$. Donc $D \notin (AB)$.
- $z = 0 \iff -2 + 4t = 0 \iff t = \dfrac{1}{2}$. Alors $x = 1 + 1 = 2$ et $y = -\dfrac{1}{2}$. Le point cherché est $\left(2 ; -\dfrac{1}{2} ; 0\right)$.
$x = 1 + 2t$, $y = -t$, $z = -2 + 4t$ ; $C \in (AB)$, $D \notin (AB)$ ; point $\left(2 ; -\frac{1}{2} ; 0\right)$