On considère un cube $ABCDEFGH$ : la face $ABCD$ est en bas, la face $EFGH$ en haut, et les arêtes verticales sont $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$.
Écrire chacun des vecteurs suivants sous la forme d'un seul vecteur dont l'origine et l'extrémité sont des sommets du cube.
- $\vec{u} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HG}$
- $\vec{v} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{EG}$
- $\vec{w} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BF}$
Dans la première somme, l'extrémité de chaque vecteur est déjà l'origine du suivant.
Dans la deuxième, remplacer $\overrightarrow{DH}$ par un vecteur égal qui part de $A$.
Dans la troisième, écrire $-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$ et changer l'ordre des termes.
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Les vecteurs s'enchaînent : par la relation de Chasles, $$\vec{u} = (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH}) + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AG}.$$
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La face $ADHE$ est un carré, donc $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$. Alors : $$\vec{v} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{BG}.$$
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On a $-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$, donc : $$\vec{w} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{DF}.$$
Vérification sur la figure : $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont des diagonales du cube, $\overrightarrow{BG}$ est une diagonale de la face $BCGF$, ce qui est cohérent avec des sommes de trois arêtes (ou d'une arête et d'une diagonale de face).
$\vec{u} = \overrightarrow{AG}$, $\vec{v} = \overrightarrow{BG}$, $\vec{w} = \overrightarrow{DF}$