Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\frac{2}{x}$.
- Soit $h$ un réel non nul tel que $1+h\neq 0$. Montrer que $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-2}{1+h}$.
- En déduire que $f$ est dérivable en $1$ et calculer $f'(1)$.
- Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
- Sans calculatrice, en utilisant $f(1+h)\approx f(1)+f'(1)\,h$, donner une valeur approchée de $\frac{2}{1{,}01}$. Calculer $1{,}98\times 1{,}01$ et dire si cette valeur approchée est par excès ou par défaut.
Réduire $\frac{2}{1+h}-2$ au même dénominateur.
Le facteur $h$ apparaît au numérateur : simplifier avant de chercher la limite.
Pour la question 4, choisir $h=0{,}01$.
1. $f(1)=2$. Pour $h\neq 0$ avec $1+h\neq 0$ : $$f(1+h)-f(1)=\frac{2}{1+h}-2=\frac{2-2(1+h)}{1+h}=\frac{-2h}{1+h}.$$ En divisant par $h\neq 0$ : $$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-2}{1+h}.$$
2. Quand $h$ tend vers $0$, $1+h$ tend vers $1$, donc $\frac{-2}{1+h}$ tend vers $-2$. Ainsi $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=-2$.
Contrôle avec les formules : $f'(x)=2\times\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{2}{x^2}$, et $f'(1)=-2$.
3. $T$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)+2$, soit $$y=-2x+4.$$ Contrôle : pour $x=1$, $-2+4=2=f(1)$.
4. Avec $h=0{,}01$ : $$\frac{2}{1{,}01}=f(1+0{,}01)\approx f(1)+f'(1)\times 0{,}01=2-0{,}02=1{,}98.$$ On calcule $1{,}98\times 1{,}01=1{,}98+0{,}0198=1{,}9998$. Comme $1{,}98\times 1{,}01<2$, on a $1{,}98<\frac{2}{1{,}01}$ : la valeur approchée $1{,}98$ est par défaut (l'écart est d'environ $2\times 10^{-4}$).
$f'(1)=-2$ ; $T : y=-2x+4$ ; $\frac{2}{1{,}01}\approx 1{,}98$ (par défaut)