Équation de la tangente : énoncé (Première spé)
Équation de la tangente
Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
Démonstration : Équation de la tangente
Équation de la tangente
La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$ : elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation réduite de la forme $y=f'(a)\,x+p$, où $p$ est un réel à déterminer.
Elle passe par $A(a\,;f(a))$, donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation : $$f(a)=f'(a)\times a+p,\quad\text{d'où}\quad p=f(a)-a\,f'(a).$$ L'équation s'écrit alors $$y=f'(a)\,x+f(a)-a\,f'(a)=f'(a)(x-a)+f(a).$$
Tangente à la parabole en 3
Pour $f(x)=x^2$ et $a=3$ : $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ (calculé à la section précédente). La tangente au point $A(3\,;9)$ a pour équation $$y=6(x-3)+9,\quad\text{soit}\quad y=6x-9.$$ Contrôle : pour $x=3$, $6\times 3-9=9$, le point $A$ est bien sur la droite.
S’entraîner
- Automatisme : tangente à partir de f(a) et f'(a)
- Automatisme : lire un nombre dérivé sur une tangente
- Fonction 2/x : nombre dérivé, tangente et approximation
- Variations et extremums d'une fonction de degré 3
- Retrouver une parabole à partir de ses tangentes