Asymptote oblique et position : méthode (MPSI)
Asymptote oblique et position
Si, quand $x\to+\infty$, $f(x)=\alpha x+\beta+\frac\gamma{x^k}+o\left(\frac1{x^k}\right)$ avec $k\geq1$ et $\gamma\neq0$, alors la droite $y=\alpha x+\beta$ est asymptote à la courbe en $+\infty$, et $f(x)-(\alpha x+\beta)\sim\frac\gamma{x^k}$ donne la position relative.
Pour obtenir ce développement : mettre en facteur le terme dominant (souvent $x$), poser $h=\frac1x$, développer en $0$, revenir à $x$. Même démarche en $-\infty$, où $\frac1x$ est négatif.
$f(x)=xe^{1/x}$ sur $\mathbb R^*$
Quand $x\to\pm\infty$, $\frac1x\to0$ et $e^{1/x}=1+\frac1x+\frac1{2x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right)$. Donc $$f(x)=x+1+\frac1{2x}+o\left(\frac1x\right).$$ La droite $y=x+1$ est asymptote en $+\infty$ et en $-\infty$. De plus $f(x)-(x+1)\sim\frac1{2x}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote au voisinage de $+\infty$ et en dessous au voisinage de $-\infty$.
Développements asymptotiques
Un développement suivant des fonctions de référence de plus en plus négligeables (par exemple $n$, $1$, $\frac1n$, $\frac1{n^2}$) s'appelle un développement asymptotique. Le programme présente cette notion sur des exemples : aucune théorie générale n'est exigible, mais la technique est classique aux concours.
Développement de $\left(1+\frac1n\right)^n$
On écrit $u_n=\left(1+\frac1n\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1+\frac1n\right)\right)$. Par substitution $x=\frac1n\to0$ : $$n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}+o\left(\frac1{n^3}\right)\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right).$$ Donc $u_n=e\cdot e^{w_n}$ avec $w_n=-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\to0$. Comme $w_n=O\left(\frac1n\right)$, $e^{w_n}=1+w_n+\frac{w_n^2}2+o\left(\frac1{n^2}\right)$ et $w_n^2=\frac1{4n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)$. D'où $$u_n=e-\frac e{2n}+\left(\frac13+\frac18\right)\frac e{n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)=e-\frac e{2n}+\frac{11e}{24n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right).$$ En particulier $u_n-e\sim-\dfrac e{2n}$ : la suite tend vers $e$ par valeurs inférieures, lentement.
Suite définie implicitement : $\tan x=x$
Pour $n\geq1$, soit $I_n=\left]n\pi-\frac\pi2,n\pi+\frac\pi2\right[$ et $g(x)=\tan x-x$ sur $I_n$.
Existence et unicité : $g$ est continue, $g'(x)=\tan^2x\geq0$ ne s'annule qu'en $n\pi$, donc $g$ est strictement croissante ; ses limites aux bornes de $I_n$ sont $-\infty$ et $+\infty$. Par le théorème de la bijection, l'équation $\tan x=x$ a une unique solution $x_n\in I_n$.
Premier terme : $n\pi-\frac\pi2<x_n<n\pi+\frac\pi2$, donc $x_n\sim n\pi$ et $x_n\to+\infty$.
Deuxième terme : $x_n-n\pi\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ et $\tan(x_n-n\pi)=\tan x_n=x_n$, donc $x_n-n\pi=\arctan x_n$. Comme $x_n\to+\infty$, $\arctan x_n\to\frac\pi2$ : $x_n=n\pi+\frac\pi2+o(1)$.
Troisième terme : pour $t>0$, $\arctan t=\frac\pi2-\arctan\frac1t$. Avec $\frac1{x_n}\to0$ et $\arctan y=y+o(y)$ : $$x_n=n\pi+\frac\pi2-\frac1{x_n}+o\left(\frac1{x_n}\right).$$ Or $x_n\sim n\pi$ donne $\frac1{x_n}=\frac1{n\pi}+o\left(\frac1n\right)$ et $o\left(\frac1{x_n}\right)=o\left(\frac1n\right)$. Finalement $$x_n=n\pi+\frac\pi2-\frac1{n\pi}+o\left(\frac1n\right).$$
S’entraîner
- Un quotient : la fonction x/(e^x - 1)
- Asymptote et position relative
- Développement limité d'une fonction réciproque
- Étude locale et asymptotique de 1/ln(1+x) − 1/x