Soit $f(x)=x^2\ln\left(1+\dfrac1x\right)$.
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Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
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Montrer qu'il existe des réels $\alpha,\beta,\gamma$ tels que, quand $x\to+\infty$ comme quand $x\to-\infty$, $$f(x)=\alpha x+\beta+\frac\gamma x+o\left(\frac1x\right).$$
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En déduire l'existence d'une asymptote en $+\infty$ et en $-\infty$, et la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
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Étudier les limites de $f$ en $0^+$ et en $-1^-$.
$1+\frac1x=\frac{x+1}x$ : étudier son signe.
Poser $h=\frac1x$, qui tend vers $0$ en $+\infty$ comme en $-\infty$. Comme on multiplie par $x^2$, il faut le DL de $\ln(1+h)$ à l'ordre $3$.
Pour la position, le signe de $\frac\gamma x$ dépend du signe de $x$.
En $0^+$, écrire $\ln\left(1+\frac1x\right)=\ln(x+1)-\ln x$.
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