Calculer une limite ou un équivalent par DL : méthode (MPSI)
Calculer une limite ou un équivalent par DL
- Se ramener en $0$.
- Repérer les compensations : si les termes prépondérants s'annulent, développer chaque terme jusqu'au premier ordre où il reste un coefficient non nul.
- Écrire le résultat sous la forme $c\,x^p(1+o(1))$ avec $c\neq0$ : la quantité est alors équivalente à $cx^p$.
- Dans un quotient, développer numérateur et dénominateur jusqu'à leur premier terme non nul.
Limite en $0$ de $\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}$
Pour $x\neq0$ voisin de $0$ : $\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}$.
Dénominateur : $x^2\sin^2x\sim x^4$. Numérateur : $\sin x=x-\frac{x^3}6+o(x^3)$, donc $\sin^2x=x^2-\frac{x^4}3+o(x^4)$ et $x^2-\sin^2x=\frac{x^4}3+o(x^4)\sim\frac{x^4}3$.
Par quotient d'équivalents, l'expression est équivalente à $\frac13$ : sa limite en $0$ est $\frac13$.
Limite en $+\infty$ de $x^2\left(e^{1/x}-1\right)-x$
On pose $h=\frac1x\to0^+$. Alors $e^{1/x}-1=\frac1x+\frac1{2x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right)$, donc $$x^2\left(e^{1/x}-1\right)-x=x+\frac12+o(1)-x=\frac12+o(1).$$ La limite vaut $\frac12$. Un simple équivalent $e^{1/x}-1\sim\frac1x$ aurait donné une forme indéterminée $x-x$.
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par somme et produit
- Développements limités par composition
- Un quotient : la fonction x/(e^x - 1)
Dans le cours
Analyse asymptotique : Calculer une limite ou un équivalent par DL