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Prépa, 1re année › Analyse asymptotique › Tangente et position relative

Tangente et position relative : méthode (MPSI)

Méthode

Tangente et position relative

Soit $a$ intérieur à $I$ et $f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_p(x-a)^p+o\big((x-a)^p\big)$ avec $p\geq2$ et $a_p\neq0$ (premier coefficient non nul après le degré $1$).

  1. La tangente en $a$ a pour équation $y=a_0+a_1(x-a)$, car $a_0=f(a)$ et $a_1=f'(a)$.
  2. $f(x)-\big(a_0+a_1(x-a)\big)\sim a_p(x-a)^p$ : au voisinage de $a$, cette différence a le signe de $a_p(x-a)^p$.
  3. Si $p$ est pair, la courbe reste localement d'un seul côté de la tangente : au-dessus si $a_p>0$, en dessous si $a_p<0$. Si $p$ est impair, la courbe traverse sa tangente : point d'inflexion.
  4. Cas $f'(a)=0$ avec $p$ pair : $f$ admet en $a$ un minimum local si $a_p>0$, un maximum local si $a_p<0$.
Exemple

$f(x)=e^x\cos x$ au voisinage de $0$

$$e^x\cos x=\left(1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+o(x^3)\right)\left(1-\frac{x^2}2+o(x^3)\right).$$ Coefficients : degré $2$ : $\frac12-\frac12=0$ ; degré $3$ : $\frac16-\frac12=-\frac13$. Donc $$e^x\cos x=1+x-\frac{x^3}3+o(x^3).$$ La tangente en $0$ est $y=1+x$, et $f(x)-(1+x)\sim-\frac{x^3}3$. Cette quantité est négative pour $x>0$ et positive pour $x<0$ : la courbe traverse sa tangente, le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion.

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Dans le cours

Analyse asymptotique : Tangente et position relative