Opérations compatibles avec l'équivalence : énoncé (MPSI)
Opérations compatibles avec l'équivalence
Si $u_n\sim v_n$ et $u'_n\sim v'_n$, alors :
- $u_nu'_n\sim v_nv'_n$ ;
- si $v'_n\neq0$ à partir d'un certain rang, $\dfrac{u_n}{u'_n}\sim\dfrac{v_n}{v'_n}$ ;
- si $u_n>0$, $v_n>0$ et si $\alpha\in\mathbb R$ est fixé (indépendant de $n$), $u_n^\alpha\sim v_n^\alpha$.
Démonstration : Opérations compatibles avec l'équivalence
Produit, quotient, puissance
Avec $u_n=(1+\varepsilon_n)v_n$ et $u'_n=(1+\varepsilon'_n)v'_n$ :
- $u_nu'_n=(1+\varepsilon_n)(1+\varepsilon'_n)v_nv'_n$ et le facteur tend vers $1$ ;
- à partir d'un rang, $1+\varepsilon'_n\neq0$, et $\dfrac{u_n}{u'_n}=\dfrac{1+\varepsilon_n}{1+\varepsilon'_n}\cdot\dfrac{v_n}{v'_n}$, le facteur tend vers $1$ ;
- $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)^\alpha=(1+\varepsilon_n)^\alpha\to1$ par continuité de $t\mapsto t^\alpha$ en $1$.
Ni somme, ni composition
L'équivalence ne s'additionne pas : $n+1\sim n$ et $-n\sim-n$, mais $(n+1)+(-n)=1$ n'est pas équivalent à $n+(-n)=0$. Écrire $u_n\sim0$ signifie que $u_n$ est nul à partir d'un certain rang : c'est presque toujours une erreur.
L'équivalence ne se compose pas à gauche par une fonction : $n^2+n\sim n^2$, mais $\dfrac{e^{n^2+n}}{e^{n^2}}=e^n\to+\infty$, donc $e^{n^2+n}\not\sim e^{n^2}$.
L'exposant doit être fixe : $1+\frac1n\sim1$, mais $\left(1+\frac1n\right)^n\to e$ et non $1$.
Équivalent et logarithme
Si $u_n\sim v_n$, $v_n>0$ et $v_n\to\ell\in[0,+\infty]$ avec $\ell\neq1$, alors $\ln u_n\sim\ln v_n$.
En effet, $u_n>0$ à partir d'un rang et $\ln u_n=\ln v_n+\ln\frac{u_n}{v_n}$, avec $\ln\frac{u_n}{v_n}\to0$. Or $\ln v_n$ tend vers $\ln\ell\neq0$ ou vers $\pm\infty$ : il ne tend pas vers $0$, donc $\ln\frac{u_n}{v_n}=o(\ln v_n)$. Ce résultat se redémontre à chaque usage plutôt que de s'appliquer comme une règle.
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Analyse asymptotique : Opérations compatibles avec l'équivalence