Propriétés de l'équivalence : énoncé (MPSI)
Propriétés de l'équivalence
- $\sim$ est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
- $u_n\sim v_n\iff u_n=v_n+o(v_n)$.
- Si $u_n\sim v_n$ et $v_n\to\ell$, avec $\ell\in\mathbb K$ ou $\ell=\pm\infty$ dans le cas réel, alors $u_n\to\ell$.
- Si $\ell\in\mathbb K^*$ : $u_n\to\ell\iff u_n\sim\ell$.
- Cas réel : si $u_n\sim v_n$, alors à partir d'un certain rang, $u_n$ et $v_n$ sont de même signe strict ou simultanément nuls.
Démonstration : Propriétés de l'équivalence
Propriétés de l'équivalence
Écrivons $u_n=(1+\varepsilon_n)v_n$ à partir d'un rang $N$, avec $\varepsilon_n\to0$ : c'est la traduction de $u_n-v_n=\varepsilon_nv_n$.
Symétrie : il existe $N'\geq N$ tel que $|\varepsilon_n|\leq\frac12$ pour $n\geq N'$. Alors $1+\varepsilon_n\neq0$ et $v_n=\frac1{1+\varepsilon_n}u_n=(1+\varepsilon'_n)u_n$ avec $\varepsilon'_n=\frac{-\varepsilon_n}{1+\varepsilon_n}\to0$.
Transitivité : si de plus $v_n=(1+\eta_n)w_n$ avec $\eta_n\to0$, alors $u_n=(1+\varepsilon_n)(1+\eta_n)w_n$ et $(1+\varepsilon_n)(1+\eta_n)-1=\varepsilon_n+\eta_n+\varepsilon_n\eta_n\to0$.
Limite : $u_n=(1+\varepsilon_n)v_n$ avec $1+\varepsilon_n\to1$, donc $u_n$ a la même limite que $v_n$ par produit.
Signe (cas réel) : pour $n\geq N'$, $1+\varepsilon_n\geq\frac12>0$, donc $u_n$ et $v_n$ ont le même signe.
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par somme et produit