Caractérisation par le quotient : énoncé (MPSI)
Caractérisation par le quotient
Si $v_n\neq0$ à partir d'un certain rang, alors : $$u_n=O(v_n)\iff\left(\frac{u_n}{v_n}\right)\text{ est bornée à partir d'un certain rang},$$ $$u_n=o(v_n)\iff\frac{u_n}{v_n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0,\qquad u_n\sim v_n\iff\frac{u_n}{v_n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}1.$$ En pratique, c'est presque toujours ainsi que l'on vérifie une relation de comparaison.
Lecture des notations
$o(v_n)$ désigne une suite quelconque négligeable devant $(v_n)$. Le signe $=$ se lit « est » et n'est pas symétrique : on écrit $\frac1{n^2}=o\left(\frac1n\right)$, jamais $o\left(\frac1n\right)=\frac1{n^2}$.
Deux cas particuliers : $u_n=o(1)\iff u_n\to0$, et $u_n=O(1)\iff(u_n)$ est bornée.
Enfin $o(v_n)-o(v_n)$ vaut $o(v_n)$ et non $0$ : les deux suites désignées par le même symbole n'ont aucune raison d'être égales.