Prépa, 1re année › Analyse asymptotique › Règles de calcul sur $o$ et $O$

Règles de calcul sur $o$ et $O$ : énoncé (MPSI)

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Règles de calcul sur $o$ et $O$

$o(v_n)+o(v_n)=o(v_n)$ et $\lambda\,o(v_n)=o(v_n)$ pour $\lambda\in\mathbb K$ ; de même avec $O$.
$w_n\,o(v_n)=o(w_nv_n)$ et $o(v_n)\,o(w_n)=o(v_nw_n)$.
Transitivité : si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$ ; de même avec $O$.
Si $u_n=o(v_n)$, alors $u_n=O(v_n)$.
Si $u_n=O(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, ou si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=O(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.

Démonstration : Règles de calcul sur $o$ et $O$

Démonstration

Deux règles

Les autres points se traitent de la même façon.

Transitivité de $o$ : à partir d'un rang $N$, $u_n=\varepsilon_nv_n$ et $v_n=\varepsilon'_nw_n$ avec $\varepsilon_n\to0$ et $\varepsilon'_n\to0$. Donc $u_n=(\varepsilon_n\varepsilon'_n)w_n$ et $\varepsilon_n\varepsilon'_n\to0$.

Cas $u_n=O(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$ : à partir d'un rang, $u_n=B_nv_n=(B_n\varepsilon_n)w_n$. Le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle tend vers $0$, donc $u_n=o(w_n)$.

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Dans le cours

Analyse asymptotique : Règles de calcul sur $o$ et $O$