Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple. Les suites sont réelles et ne s'annulent pas à partir d'un certain rang.
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Si $u_n\sim v_n$, alors $u_n^2\sim v_n^2$.
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Si $u_n\sim v_n$, alors $e^{u_n}\sim e^{v_n}$.
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Si $u_n\sim v_n$ et $w_n\sim t_n$, alors $u_n+w_n\sim v_n+t_n$.
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Si $u_n=o(v_n)$, alors $u_n+v_n\sim v_n$.
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Si $u_n-v_n\to0$, alors $u_n\sim v_n$.
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Si $f(x)\underset{x\to0}{=}o(x^2)$, alors $f(x)\underset{x\to0}{=}o(x)$.
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Si $f(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(x^2)$, alors $f(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(x)$.
Revenir à la caractérisation par le quotient.
Pour 2), calculer le quotient $\frac{e^{u_n}}{e^{v_n}}$ avec $u_n=n+1$ et $v_n=n$.
Pour 6) et 7), comparer $x^2$ et $x$ en $0$, puis en $+\infty$.
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Vrai. L'équivalence est compatible avec le produit : $u_n\sim v_n$ et $u_n\sim v_n$ donnent $u_n\cdot u_n\sim v_n\cdot v_n$.
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Faux. Avec $u_n=n+1$ et $v_n=n$, on a $\frac{u_n}{v_n}\to1$ donc $u_n\sim v_n$, mais $\frac{e^{u_n}}{e^{v_n}}=e\not\to1$. On a en fait $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ si et seulement si $u_n-v_n\to0$.
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Faux. Avec $u_n=n+1$, $v_n=n$, $w_n=t_n=-n$ : $u_n\sim v_n$ et $w_n\sim t_n$, mais $u_n+w_n=1$ et $v_n+t_n=0$. Or la suite constante égale à $1$ n'est pas équivalente à la suite nulle, puisque seule une suite nulle à partir d'un certain rang est équivalente à $0$.
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Vrai. $(u_n+v_n)-v_n=u_n=o(v_n)$, c'est exactement la définition de $u_n+v_n\sim v_n$.
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Faux. Avec $u_n=\frac1{n^2}$ et $v_n=\frac1n$ : $u_n-v_n\to0$, mais $\frac{u_n}{v_n}=\frac1n\to0\neq1$.
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Vrai. Au voisinage de $0$, $f(x)=\varepsilon(x)x^2=\big(x\varepsilon(x)\big)x$ avec $\varepsilon(x)\to0$, donc $x\varepsilon(x)\to0$ : $f(x)=o(x)$. Autrement dit $x^2=o(x)$ en $0$ et on applique la transitivité.
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Faux. La fonction $f(x)=x^{3/2}$ vérifie $\frac{f(x)}{x^2}=x^{-1/2}\to0$ en $+\infty$, donc $f(x)=o(x^2)$, mais $\frac{f(x)}x=\sqrt x\to+\infty$. En $+\infty$, c'est $x=o(x^2)$ et non l'inverse : le point fait partie de la relation.
- Vrai ; 2) Faux ; 3) Faux ; 4) Vrai ; 5) Faux ; 6) Vrai ; 7) Faux