Conséquences du lemme de Gauss : énoncé (MPSI)

Soient $a, b, c, n \in \mathbb{Z}$.

1. Si $a \mid n$, $b \mid n$ et $a \wedge b = 1$, alors $ab \mid n$.
2. Si $a \wedge b = 1$ et $a \wedge c = 1$, alors $a \wedge bc = 1$. Par récurrence, si $a \wedge b = 1$, alors $a^m \wedge b^k = 1$ pour tous $m, k \in \mathbb{N}$.
3. Si $a_1, \dots, a_r$ sont premiers entre eux deux à deux et divisent tous $n$, alors $a_1 \cdots a_r \mid n$.

Preuve de 1. On écrit $n = ak$. Alors $b \mid ak$ et $b \wedge a = 1$, donc $b \mid k$ par Gauss : $k = bl$ et $n = abl$.

Preuve de 2. Avec $au + bv = 1$ et $au' + cw = 1$, le produit donne $a(auu' + uc w + bvu') + bc(vw) = 1$, donc $a \wedge bc = 1$ par Bézout.