Forme irréductible d'un rationnel : énoncé (MPSI)

Tout $x \in \mathbb{Q}$ s'écrit de manière unique $x = \dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $p \wedge q = 1$.

Existence. On part de $x = a/b$ avec $b > 0$ ; on divise $a$ et $b$ par $d = a \wedge b$.

Unicité. Si $p/q = p'/q'$ sous cette forme, alors $pq' = p'q$. Donc $q \mid pq'$ avec $q \wedge p = 1$, d'où $q \mid q'$ par Gauss. De même $q' \mid q$. Comme $q, q' > 0$, $q = q'$, puis $p = p'$.