Exercice corrigé : Théorème de Wilson et carrés congrus à $-1$ (type Mines-Ponts)

Soit $p$ un nombre premier.

1. Soit $a \in \{1, \dots, p-1\}$. Montrer qu'il existe un unique $a' \in \{1, \dots, p-1\}$ tel que $aa' \equiv 1 \;[p]$.
2. Montrer que $a' = a$ si et seulement si $a \in \{1, p-1\}$.
3. (Théorème de Wilson) En déduire que $(p-1)! \equiv -1 \;[p]$. On traitera à part les cas $p = 2$ et $p = 3$.
4. Réciproquement, soit $n \geqslant 2$ un entier tel que $(n-1)! \equiv -1 \;[n]$. Montrer que $n$ est premier.
5. On suppose $p \equiv 1 \;[4]$ et on écrit $p = 4k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\left((2k)!\right)^2 \equiv -1 \;[p]$. Vérifier ce résultat pour $p = 13$.
6. On suppose $p \equiv 3 \;[4]$. Montrer qu'il n'existe aucun $x \in \mathbb{Z}$ tel que $x^2 \equiv -1 \;[p]$.
7. Conclure : pour quels nombres premiers $p$ la congruence $x^2 \equiv -1 \;[p]$ admet-elle une solution dans $\mathbb{Z}$ ?