Prépa, 1re année › Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ › Théorème de Bézout
Théorème de Bézout : énoncé (MPSI)
Théorème
Théorème de Bézout
Soient $a, b \in \mathbb{Z}$. Alors $$a \wedge b = 1 \iff \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^2,\ au + bv = 1.$$
Démonstration : Théorème de Bézout
Démonstration
Preuve
Si $a \wedge b = 1$, la relation de Bézout fournit $(u,v)$ tel que $au + bv = 1$.
Réciproquement, si $au + bv = 1$, alors $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls, et tout diviseur commun positif $c$ de $a$ et $b$ divise $au + bv = 1$, donc $c = 1$. Ainsi $a \wedge b = 1$.
Exemple
Montrer que deux expressions sont premières entre elles
Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ :
- $(n+1) - n = 1$, donc $n \wedge (n+1) = 1$ ;
- $3(2n+1) - 2(3n+1) = 1$, donc $(2n+1) \wedge (3n+1) = 1$.
On cherche une combinaison à coefficients entiers qui élimine $n$ et donne $1$.