Homogénéité du PGCD : énoncé (MPSI)
Homogénéité du PGCD
Pour $a, b \in \mathbb{Z}$ et $k \in \mathbb{Z}$ : $(ka) \wedge (kb) = |k|\,(a \wedge b)$.
Preuve. Le cas $k = 0$ ou $a = b = 0$ est immédiat. Sinon, soient $d = a \wedge b$ et $\delta = (ka) \wedge (kb)$. Comme $kd$ divise $ka$ et $kb$, il divise $\delta$ (diviseurs communs = diviseurs du PGCD). Avec $d = au + bv$, on a $kd = (ka)u + (kb)v$, donc $\delta \mid kd$. Les entiers $\delta > 0$ et $kd$ sont associés : $\delta = |k| d$.
PGCD de plusieurs entiers
Pour $a_1, \dots, a_n$ non tous nuls, on définit $a_1 \wedge \dots \wedge a_n$ comme le plus grand diviseur commun. On a $a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = (a_1 \wedge a_2) \wedge a_3$, les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD, et il existe $u_1, \dots, u_n \in \mathbb{Z}$ tels que $a_1 u_1 + \dots + a_n u_n = a_1 \wedge \dots \wedge a_n$.
S’entraîner
- PGCD, coefficients de Bézout et PPCM de 4199 et 1729
- Décompositions, diviseurs, PGCD et PPCM de 5040 et 3780
- PGCD dépendant d'un paramètre
- Couples d'entiers de PGCD et PPCM imposés
- PGCD de deux nombres de la forme $2^k - 1$