- Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $d_n = (n+3) \wedge (2n+1)$. Montrer que $d_n \in \{1, 5\}$, puis déterminer les entiers $n$ tels que $d_n = 5$.
- Pour $n \in \mathbb{Z}$, calculer $(n^2 + 1) \wedge (n + 1)$ selon la parité de $n$.
Un diviseur commun divise toute combinaison à coefficients entiers : éliminer $n$.
Pour la question 1, combiner $2(n+3)$ et $2n+1$.
Ne pas oublier la réciproque : vérifier que $5$ divise effectivement les deux entiers dans le cas trouvé.
Pour la question 2, retrancher à $n^2 + 1$ le produit $(n-1)(n+1)$.
1. Soit $n \in \mathbb{N}$ ; $n + 3 \geqslant 3$, donc $d_n$ est bien défini et $d_n \geqslant 1$. Comme $d_n$ divise $n+3$ et $2n+1$, il divise $$2(n+3) - (2n+1) = 5.$$ Les diviseurs positifs de $5$ sont $1$ et $5$, donc $d_n \in \{1, 5\}$.
Si $d_n = 5$, alors $5 \mid n + 3$, donc $n \equiv -3 \equiv 2 \;[5]$.
Réciproquement, si $n = 5k + 2$ avec $k \in \mathbb{N}$, alors $n + 3 = 5(k+1)$ et $2n + 1 = 10k + 5 = 5(2k+1)$. Donc $5$ divise les deux entiers, puis $5 \mid d_n$ et $d_n = 5$.
Conclusion : $d_n = 5$ si $n \equiv 2 \;[5]$, et $d_n = 1$ sinon.
2. Soit $n \in \mathbb{Z}$ et $\delta = (n^2+1) \wedge (n+1)$ ; comme $n^2 + 1 \geqslant 1$, $\delta \geqslant 1$. L'entier $\delta$ divise $$(n^2 + 1) - (n-1)(n+1) = n^2 + 1 - n^2 + 1 = 2,$$ donc $\delta \in \{1, 2\}$.
- Si $n$ est impair, $n^2 + 1$ et $n + 1$ sont pairs, donc $2 \mid \delta$ et $\delta = 2$.
- Si $n$ est pair, $n + 1$ est impair, donc $2 \nmid n+1$ et $\delta \neq 2$ : $\delta = 1$.
$d_n=5$ si $n\equiv 2\;[5]$, $d_n=1$ sinon ; $(n^2+1)\wedge(n+1)=2$ si $n$ impair, $1$ si $n$ pair