Relation de Bézout et diviseurs communs : énoncé (MPSI)

Soit $S = \{au + bv \,;\, (u,v) \in \mathbb{Z}^2,\ au + bv > 0\}$. C'est une partie de $\mathbb{N}^*$, non vide car $a \cdot a + b \cdot b = a^2 + b^2 > 0$. Elle admet un plus petit élément $\delta = au_0 + bv_0$.

$\delta$ divise $a$. Écrivons $a = \delta q + r$ avec $0 \leqslant r < \delta$. Alors $r = a - q(au_0 + bv_0) = a(1 - qu_0) + b(-qv_0)$. Si $r > 0$, alors $r \in S$ et $r < \delta$, ce qui contredit la minimalité de $\delta$. Donc $r = 0$ et $\delta \mid a$. De même, $\delta \mid b$.

Inclusions. Si $c$ divise $a$ et $b$, alors $c$ divise $au_0 + bv_0 = \delta$. Donc $\mathcal{D}(a) \cap \mathcal{D}(b) \subset \mathcal{D}(\delta)$. Réciproquement, comme $\delta$ divise $a$ et $b$, tout diviseur de $\delta$ divise $a$ et $b$. D'où l'égalité $\mathcal{D}(a) \cap \mathcal{D}(b) = \mathcal{D}(\delta)$.

Conclusion. Le plus grand élément de $\mathcal{D}(\delta)$ est $\delta$, donc $a \wedge b = \delta = au_0 + bv_0$. Les deux points sont démontrés.