RécurrencePGCD et combinaisonsInfinitude des nombres premiersCalcul modulaire
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $F_n = 2^{2^n} + 1$. Ainsi $F_0 = 3$, $F_1 = 5$, $F_2 = 17$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k = F_n - 2$.
- En déduire que pour tous $m \neq n$, $F_m \wedge F_n = 1$.
- En déduire une nouvelle preuve de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.
- Vérifier que $641 = 5 \times 2^7 + 1 = 5^4 + 2^4$. En déduire que $641$ divise $F_5$, puis que $F_5$ n'est pas premier.
Indice 1
Faire une récurrence sur $n$ en utilisant $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ avec $x = 2^{2^n}$.
Indice 2
Pour $m < n$, $F_m$ divise $F_n - 2$ : un diviseur commun à $F_m$ et $F_n$ divise donc $2$.
Indice 3
Associer à chaque $F_n$ un de ses diviseurs premiers et montrer que ces premiers sont distincts.
Indice 4
Élever $5 \times 2^7 \equiv -1 \;[641]$ à la puissance $4$, puis remplacer $5^4$ grâce à la seconde écriture de $641$.
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