Petit théorème de Fermat : énoncé (MPSI)

Cas $a \in \mathbb{N}$, par récurrence sur $a$. Pour $a = 0$ : $0^p = 0$. Supposons $a^p \equiv a \;[p]$. Par la formule du binôme, $$(a+1)^p = a^p + 1 + \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k} a^k.$$ D'après le lemme, chaque terme de la somme est divisible par $p$. Donc $(a+1)^p \equiv a^p + 1 \equiv a + 1 \;[p]$.

Cas $a \in \mathbb{Z}$ quelconque. Soit $r \in \{0, \dots, p-1\}$ le reste de $a$ modulo $p$. Alors $a^p \equiv r^p \equiv r \equiv a \;[p]$, en utilisant le cas précédent pour $r \in \mathbb{N}$.

Point 2. On a $p \mid a^p - a = a(a^{p-1} - 1)$. Si $p \nmid a$, alors $p \wedge a = 1$, et le lemme de Gauss donne $p \mid a^{p-1} - 1$.