Exercice corrigé : Comité avec président et vice-président

Soit $n\ge2$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. On note $Y$ l'ensemble des triplets $(A,x,y)$ où $A\subset E$, $x\in A$, $y\in A$ et $x\ne y$ (un comité $A$ muni d'un président $x$ et d'un vice-président $y$).

1. Dénombrer $Y$ de deux façons et en déduire $$\sum_{k=0}^nk(k-1)\binom nk=n(n-1)2^{n-2}.$$
2. En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^nk^2\binom nk$.
3. Vérifier les deux formules pour $n=3$.