Applications entre ensembles de même cardinal : énoncé (MPSI)

Notons $n=\operatorname{Card}E=\operatorname{Card}F$. Il suffit de montrer que 1 implique 3 et que 2 implique 3, les autres implications étant immédiates.

Injective implique bijective. Si $f$ est injective, $\operatorname{Card}f(E)=\operatorname{Card}E=n=\operatorname{Card}F$. Comme $f(E)\subset F$, le cas d'égalité des parties donne $f(E)=F$ : $f$ est surjective, donc bijective.

Surjective implique bijective. Si $f$ est surjective, on choisit pour chaque $y\in F$ un antécédent $g(y)\in E$. On définit ainsi $g:F\to E$ avec $f\circ g=\mathrm{id}_F$. L'application $g$ est injective : si $g(y)=g(y')$, alors $y=f(g(y))=f(g(y'))=y'$. D'après le point précédent (appliqué de $F$ dans $E$, qui ont même cardinal), $g$ est bijective. Alors $f=f\circ g\circ g^{-1}=g^{-1}$ est bijective.