Invariance par bijection : énoncé (MPSI)
Invariance par bijection
Si $E$ est fini et s'il existe une bijection de $E$ sur $F$, alors $F$ est fini et $\operatorname{Card} F=\operatorname{Card} E$.
En effet, si $\varphi:\llbracket 1,n\rrbracket\to E$ et $f:E\to F$ sont bijectives, $f\circ\varphi:\llbracket 1,n\rrbracket\to F$ est bijective.
C'est l'outil de base : pour compter $F$, on le met en bijection avec un ensemble dont on connaît le cardinal.
Cardinal d'un intervalle d'entiers
Pour $a\le b$ entiers, l'application $k\mapsto k-a+1$ est une bijection de $\llbracket a,b\rrbracket$ sur $\llbracket 1,b-a+1\rrbracket$. Donc $$\operatorname{Card}\llbracket a,b\rrbracket=b-a+1.$$ Par exemple $\llbracket 10,25\rrbracket$ contient $16$ entiers, et non $15$.
Les multiples de $7$ dans $\llbracket 1,100\rrbracket$ sont les $7k$ avec $1\le 7k\le 100$, soit $k\in\llbracket 1,14\rrbracket$ : il y en a $14$ (l'application $k\mapsto 7k$ est une bijection).
S’entraîner
- Multiples dans un intervalle d'entiers
- Anagrammes de BARBARA
- Chemins évitant des points
- Injective implique bijective : usage et limites
- Applications croissantes