Prépa, 1re année › Dénombrement › Image d'un ensemble fini
Image d'un ensemble fini : énoncé (MPSI)
Propriété
Image d'un ensemble fini
Soit $f:E\to F$ avec $E$ fini. Alors $f(E)$ est fini et $$\operatorname{Card} f(E)\le\operatorname{Card} E,$$ avec égalité si et seulement si $f$ est injective.
Conséquences :
- si $f:E\to F$ est injective et $F$ fini, alors $\operatorname{Card}E\le\operatorname{Card}F$ ;
- si $f:E\to F$ est surjective et $E$ fini, alors $\operatorname{Card}F\le\operatorname{Card}E$.
Si $f$ est injective, elle induit une bijection de $E$ sur $f(E)$, d'où l'égalité. La réciproque est admise.
Remarque
Principe des tiroirs
Par contraposée : si $\operatorname{Card}E>\operatorname{Card}F$, aucune application de $E$ dans $F$ n'est injective. Deux éléments distincts de $E$ ont donc la même image.
Exemple : parmi $13$ personnes, l'application « mois de naissance » va d'un ensemble à $13$ éléments dans un ensemble à $12$ éléments ; elle n'est pas injective, donc deux personnes au moins sont nées le même mois.
S’entraîner
- Multiples dans un intervalle d'entiers
- Applications et injections entre deux petits ensembles
- Anagrammes de BARBARA
- Parties emboîtées
- Comité avec président et vice-président