Prépa, 1re année › Dérivabilité › Démontrer une inégalité par convexité
Démontrer une inégalité par convexité : méthode (MPSI)
Méthode
Démontrer une inégalité par convexité
- Repérer la fonction en jeu et prouver sa convexité ou sa concavité, en général par le signe de $f''$.
- Choisir l'outil selon la forme de l'inégalité :
- comparaison entre $f(x)$ et une fonction affine qui touche le graphe : tangente ;
- encadrement sur un segment $[a,b]$ par une fonction affine qui passe par les extrémités : corde ;
- $f$ d'une moyenne comparée à la moyenne des $f(x_i)$ : Jensen, avec des poids bien choisis.
- Écrire l'inégalité obtenue, puis appliquer si besoin une fonction monotone ($\exp$, $\ln$, puissance) en respectant son sens de variation.
Remarque
Convexité sans dérivabilité
Une fonction convexe n'est pas forcément dérivable : $x \mapsto |x|$ est convexe sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas dérivable en $0$. On peut montrer (résultat hors programme) qu'une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue et admet en tout point une dérivée à gauche et une dérivée à droite. Les caractérisations par $f'$ et $f''$ supposent donc explicitement la dérivabilité.
S’entraîner
Dans le cours
Dérivabilité : Démontrer une inégalité par convexité
- Fonction convexe, fonction concave
- Inégalité de Jensen
- Inégalité des pentes
- Caractérisation des fonctions convexes dérivables
- Position par rapport aux tangentes
Voir aussi en Terminale spé : Démontrer une inégalité par convexité