Caractérisation des fonctions convexes dérivables : énoncé (MPSI)

Convexe implique $f'$ croissante. Soient $a<b$ dans $I$ et $x \in\, ]a,b[$. L'inégalité des pentes donne $p(a,x) \le p(a,b) \le p(x,b)$. Quand $x \to a^+$, $p(a,x) \to f'(a)$, donc $f'(a) \le p(a,b)$. Quand $x \to b^-$, $p(x,b) \to f'(b)$, donc $p(a,b) \le f'(b)$. Ainsi $f'(a) \le f'(b)$.

$f'$ croissante implique convexe. Soient $x<y$ dans $I$, $t \in\, ]0,1[$ et $z=(1-t)x+ty$, de sorte que $x<z<y$, $z-x=t(y-x)$ et $y-z=(1-t)(y-x)$. Par l'égalité des accroissements finis, il existe $c_1 \in\, ]x,z[$ et $c_2 \in\, ]z,y[$ avec $p(x,z)=f'(c_1)$ et $p(z,y)=f'(c_2)$. Comme $c_1<c_2$ et $f'$ est croissante, $p(x,z) \le p(z,y)$, c'est-à-dire $$\frac{f(z)-f(x)}{t(y-x)} \le \frac{f(y)-f(z)}{(1-t)(y-x)}.$$ En multipliant par $t(1-t)(y-x)>0$ : $(1-t)(f(z)-f(x)) \le t(f(y)-f(z))$, soit $f(z) \le (1-t)f(x)+tf(y)$. Les cas $t=0$ et $t=1$ sont immédiats.

Le corollaire découle du théorème de monotonie appliqué à $f'$.