Utiliser la concavité du logarithmeChoisir des poids dans l'inégalité de convexitéAppliquer une fonction monotone à une inégalité
Soient $p>1$ et $q$ le réel défini par $\frac1p+\frac1q=1$.
- Vérifier que $q>1$.
- Montrer que pour tous réels $a,b>0$ : $$ab \le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$
- En déduire que pour tous $x,y>0$ : $xy \le \frac{x^3}{3}+\frac23\,y^{3/2}$.
- Retrouver le cas $p=2$ par un calcul direct.
Indice 1
Exprimer $\frac1q$ en fonction de $p$.
Indice 2
Appliquer la concavité de $\ln$ aux points $a^p$ et $b^q$ avec les poids $\frac1p$ et $\frac1q$.
Indice 3
Pour la question 3, déterminer $q$ lorsque $p=3$.
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