Position par rapport aux tangentes : énoncé (MPSI)
Position par rapport aux tangentes
Si $f$ est convexe et dérivable sur $I$, son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tous $a,x \in I$, $$f(x) \ge f(a)+f'(a)(x-a).$$ Pour $f$ concave et dérivable, le graphe est en dessous de ses tangentes.
Démonstration : Position par rapport aux tangentes
Preuve
On pose $g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$. $g$ est dérivable et $g'(x)=f'(x)-f'(a)$. Comme $f'$ est croissante, $g' \le 0$ sur $I \cap\, ]-\infty,a]$ et $g' \ge 0$ sur $I \cap [a,+\infty[$. Donc $g$ décroît puis croît : elle atteint son minimum en $a$, et $g(a)=0$. Ainsi $g \ge 0$ sur $I$.
Inégalités de convexité classiques
- $\exp$ est convexe ($\exp''=\exp>0$). Tangente en $0$ : $y=1+x$. Donc $e^x \ge 1+x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- $\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$ ($\ln''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$). Tangente en $1$ : $y=x-1$. Donc $\ln x \le x-1$ pour tout $x>0$.
- $\sin$ est concave sur $[0,\pi]$ ($\sin''=-\sin \le 0$). Sur $[0,\frac{\pi}{2}]$, le graphe est au-dessus de la corde joignant $(0,0)$ et $(\frac{\pi}{2},1)$, d'équation $y=\frac{2}{\pi}x$, et sous la tangente en $0$, d'équation $y=x$. D'où : pour $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$, $\frac{2}{\pi}x \le \sin x \le x$.
Inégalité arithmético-géométrique
Soient $x_1,\dots,x_n>0$. $\ln$ est concave, donc l'inégalité de Jensen s'applique en sens inverse avec les poids $\lambda_i=\frac{1}{n}$ : $$\ln\left(\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\right) \ge \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i=\ln\left(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\right).$$ Par croissance de $\exp$ : $$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \le \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.$$ Pour $n=2$ : $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$, qui équivaut aussi à $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \ge 0$.