Prépa, 1re année › Dérivabilité › Inégalité des pentes
Inégalité des pentes : énoncé (MPSI)
Propriété
Inégalité des pentes
Notons $p(u,v)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}$ la pente de la corde entre les abscisses $u \neq v$. $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si pour tous $a<b<c$ dans $I$ : $$p(a,b) \le p(a,c) \le p(b,c).$$ De façon équivalente : pour tout $a \in I$, le taux d'accroissement $\tau_a : x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissant sur $I\setminus\{a\}$.
Démonstration : Inégalité des pentes
Démonstration
Preuve du sens direct
Soient $a<b<c$ dans $I$. On écrit $b=(1-t)a+tc$ avec $t=\frac{b-a}{c-a} \in\, ]0,1[$ ; on a $1-t=\frac{c-b}{c-a}$. La convexité donne $f(b) \le (1-t)f(a)+tf(c)$.
- En retranchant $f(a)$ : $f(b)-f(a) \le t\,(f(c)-f(a))$. On divise par $b-a=t(c-a)>0$ : $p(a,b) \le p(a,c)$.
- En retranchant $f(c)$ : $f(b)-f(c) \le (1-t)(f(a)-f(c))$, soit $f(c)-f(b) \ge (1-t)(f(c)-f(a))$. On divise par $c-b=(1-t)(c-a)>0$ : $p(b,c) \ge p(a,c)$.
La réciproque se démontre en refaisant ces calculs dans l'autre sens : l'inégalité $p(a,b) \le p(a,c)$ équivaut à $f(b) \le (1-t)f(a)+tf(c)$.