Inégalité de Jensen : énoncé (MPSI)
Inégalité de Jensen
Soit $f$ convexe sur $I$, $n \ge 1$, $x_1,\dots,x_n \in I$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n \ge 0$ avec $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$. Alors $\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i \in I$ et $$f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i).$$
Démonstration : Inégalité de Jensen
Preuve par récurrence sur $n$
D'abord, $\sum\lambda_ix_i$ est compris entre $\min x_i$ et $\max x_i$, qui sont dans l'intervalle $I$, donc il appartient à $I$.
Pour $n=1$, $\lambda_1=1$ et l'inégalité est une égalité. Supposons le résultat vrai au rang $n$ et prenons $n+1$ points et poids. Si $\lambda_{n+1}=1$, les autres poids sont nuls et l'inégalité est une égalité. Sinon, $s=1-\lambda_{n+1}=\sum_{i=1}^n\lambda_i>0$ et on pose $y=\sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_i}{s}x_i$. Les poids $\frac{\lambda_i}{s}$ sont positifs de somme $1$, donc $y \in I$ et, par hypothèse de récurrence, $f(y) \le \sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{s}f(x_i)$. Comme $\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i=s\,y+\lambda_{n+1}x_{n+1}$ avec $s+\lambda_{n+1}=1$, la définition de la convexité donne $$f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right) \le s\,f(y)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}).$$